esercizio sulle proprietà strutturali
Sia A=[ 0 1 0
0 0.5 0
1 0 0.3]
B=[1 0 1]'
C=[ 0 1 1]
Si studino le proprietà strutturali, e si individuino gli autovalori raggiungibili, osservabili, non osservabili e non raggiungibili.
Con il comando R=ctrb(A,B) si ottiene la matrice di raggiungibilità
Con il comando O=obsv(A,C) si ottiene la matrice di osservabilità
R=[ 1 0 0
0 0 0
1 1.3 0.]
O=[0 1 1
1 0.5 0.3
0.3 1.25 0.09]
Con il comando rank(R) si ottiene 2 (r=2)
Con il comando rank(0) si ottiene 3 (no=0)
Quindi lo spazio di raggiungibilità ha dimensione 2 e quello di no osservabilità 0
Si calcola la fdt G(z)=C(zI - A)^(-1)B +D
Comando [n,d]=ss2tf(A,B,C,D)
comandi roots(n) e roots(d)
Si ottiene
G(z)= (z^2+0.5z-0.5)/ (z^3-0.8z^2+0.15z)
zeri (radici di n): 0.5,-1
poli (radici di d)= 0,0.5,0.3
Quindi la radice 0.5 e'in comune -> si ha una cancellazione -> e 'lo autovalore non raggiungibile
G(z)=(z+1)/(z^2-0.3z)
Forma di kalman di raggiungibilità:
Scelgo la base
{v1=[1 0 0 ]', v2=[1 0 1]}
T1=[ 0 1 0
0 0 1
1 1 0]
T=inv(T1)=
[ -1 0 1
1 0 0
0 1 0]
AKR=T*A*T1=
[ 0.3000 1.3000 -1.0000
0 0 1.0000
0 0 0.5000]
BKR=T*B=[0
1
0]
0.3 0 autovalori raggiungibili
0.5 autovalore irraggiungibile
0 0.5 0
1 0 0.3]
B=[1 0 1]'
C=[ 0 1 1]
Si studino le proprietà strutturali, e si individuino gli autovalori raggiungibili, osservabili, non osservabili e non raggiungibili.
Con il comando R=ctrb(A,B) si ottiene la matrice di raggiungibilità
Con il comando O=obsv(A,C) si ottiene la matrice di osservabilità
R=[ 1 0 0
0 0 0
1 1.3 0.]
O=[0 1 1
1 0.5 0.3
0.3 1.25 0.09]
Con il comando rank(R) si ottiene 2 (r=2)
Con il comando rank(0) si ottiene 3 (no=0)
Quindi lo spazio di raggiungibilità ha dimensione 2 e quello di no osservabilità 0
Si calcola la fdt G(z)=C(zI - A)^(-1)B +D
Comando [n,d]=ss2tf(A,B,C,D)
comandi roots(n) e roots(d)
Si ottiene
G(z)= (z^2+0.5z-0.5)/ (z^3-0.8z^2+0.15z)
zeri (radici di n): 0.5,-1
poli (radici di d)= 0,0.5,0.3
Quindi la radice 0.5 e'in comune -> si ha una cancellazione -> e 'lo autovalore non raggiungibile
G(z)=(z+1)/(z^2-0.3z)
Forma di kalman di raggiungibilità:
Scelgo la base
{v1=[1 0 0 ]', v2=[1 0 1]}
T1=[ 0 1 0
0 0 1
1 1 0]
T=inv(T1)=
[ -1 0 1
1 0 0
0 1 0]
AKR=T*A*T1=
[ 0.3000 1.3000 -1.0000
0 0 1.0000
0 0 0.5000]
BKR=T*B=[0
1
0]
0.3 0 autovalori raggiungibili
0.5 autovalore irraggiungibile
posted by LAURA at 1:53 AM
5 Comments:
Per il seguente sistema trovo 5 punti di equilibrio:
x1' = x1*(x2^2-1)+u
x2' = x2*(x1^2-1)
y = x1+x2^2
Xa=[0 0]' Xb=[1 1]' Xc=[1 -1]'
Xd=[-1 1]' Xe=[-1 -1]
Adesso non capisco perchè la linearizzazione l'abbiamo svolta solo per Xa e Xb (trovando i rispettivi autovalori) e non per tutti e 5 punti di equilibrio.
Non lo riesco a capire: è un mio dubbio.
j=[x2^2 2x1x2
2x1x2 x1^2]
ja=[0 0
0 0]
jb=[1 2
2 1]
jc=[1 -2
-2 1]
jd=[1 -2
-2 1]
je=[1 2
2 1]
jb=je
jc=jd
eig(je)=eig(jc)=eig(jd)=eig(jb)=
(l-1)^2-4
Grazie per la sua cortesia.
Nella decomposizione canonica di raggiungibilità e osservabilità come faccio a trovare immediatamente il cambio di coordinate opportuno cioè la matrice T^(-1) che mi consente di ottenere delle atilde triangolari alte(raggiungibilità) e triangolari basse(osservabilità), poichè io adotto sempre il metodo a tentativi fin quando sono fortunato e ho trovato la T che mi permette di fare la decomposizione canonica. Ho capito soltanto che si aggiungono come primi vettori lin. indip. nella T^(-1) o alla T a seconda (nel caso raggiungibilità) e ultimi vettori del sottospazio nullo (nel caso di osservabilità).
Grazie per l'aiuto.
SCELTA BASE:
allora i primi r vettori della matrice T^(-1) sono una base del
sottospazio IM(R) dovre R e'la matrive di raggiungibilita
quindi vanno scelti per esempio prendedo r colonne lin. indipendenti di R.
Per la osservabilita->
gli ultimi no vettori sono la base dello spazio nullo di O
null(O)=ker(O)
dove O e'la matrice di osservabilità
lo spazio nullo si definisce come
{w: Ow=0)
ovvero quei w che danno lo zero in maniera non banale
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